Badewannengedanken

3,14 und ein bischen

Die Badewanne ist doch immer wieder ein Ort der Erleuchtung.

Nach einem Gedankengang über die Unfähigkeit Fotos genau das zeigen zu lassen was wir als Menschen sehen fand ich mich plötzlich im Reich der Geometrie wieder.

Vor nunmehr einer Woche wurde abermals der Pi-Day gefeiert. Das liegt wohl an zwei Ursachen. Die erste die fragwürdige Angewohnheit der US-Amerikaner ihre Datumsangaben Monat-Tag-Jahr zu schreiben. Die andere Ursache ist das fehlen eines vierzehnten Kalendermonats. Letzten Freitag sagte der Kalender, es wäre der 3/14/2008 und damit treffen die ersten drei Ziffern immerhin die von π. Leider ist das Jahr 1592 schon vorbei, das hätte eine Riesenparty gegeben.

Und das alles nur wegen dem Verhältnis von Durchmesser zum Umfang eines Kreises...

Mit der genauen Bestimmung dieses Wertes plagt sich die Menschheit schon seit einiger Zeit herum. Es ist bekannt, das die Ägypter vor 5000 Jahren auch schon am suchen waren, wie groß Pi nun eigentlich ist. Von älteren Problemen fehlen wohl einfach die Aufzeichnungen.

Ein Artikel bei Heise enthielt die Angabe, das der chinesische Mathematiker Tsu Chung-Chi um 500 n.Chr. Pi auf ungefähr 355/113 bestimmte. Da stimmen die ersten 6 Nachkommastellen.

Wie kam er aber auf diesen Wert. Hätte er eine rechnerische Annäherung gefunden, wäre er nicht auf so einen schönen Bruch gekommen, ist Pi doch so irreal, das es keinen wirklich treffenden Bruch gibt. Mangels Taschenrechner waren die Mathematiker bis vor gar nicht so langer Zeit auf überschaubarere Wege angewiesen. Wer schon einmal sin(90°) im Taschenrechner ausrechnete wird merken, das das auch einfacher gehen muss.

Überschaubar soll es sein. Was ist überschaubarer als Geometrie. "Störe meine Kreise nicht" sollen Archimedes letzte Worte gewesen sein, aber zu dem später mehr. Ein Verhältnis von 355/113 ist ja so klein, das das gar nicht so schwer sein sollte, das mal nach zu zählen.

Wenn der Durchmesser zum Umfang im Verhältnis steht, trifft das doch auch auf den Flächeninhalt vom Kreis zu dem des Quadrates mit gleicher Kantenlänge zu.

Hätte ich Millimeterpapier gehabt, hätte ich es genommen. So öffnete ich das Bildmanipulationsprogramm meines Geschmacks und öffnete ein Bild von 600x600 Pixeln, unterteilte es in Quadrate mit 10px Kantenlänge und zeichnete einen Viertelkreis ein. Ein ganzer Kreis hätte vier mal symmetrisches zählen bedeutet und die Genauigkeit gesenkt. Ein Achtelkreis wäre auch gegangen, aber das Quadrat gefiel mir so besser.

Der Computer zeichnet den Kreis schwarz, ich zählte der Einfachheit halber die Quadrate außerhalb des Kreises. Das waren bedeutend weniger. Die Quadrate, die genau auf der Kreiskante lagen wurden der Seite zugeordnet, in der sie vorrangig lagen. Von meinen 3600 Quadraten lagen 806 außerhalb und 2794 innerhalb des Viertelkreises. Damit ist Pi ungefähr 4x2794/3600. Seltsamerweise sind 11176/3600 nur ungefähr 3,1044. Damit stimmt nur die erste Nachkommastelle.

Dieser Chinese hat wohl doch einiges genauer gerechnet, als ich das hier Tat. Es wäre auch seltsam gewesen, wenn sich eine herausragende mathematische Leistung in zehn Minuten nachstellen ließe.

Was kann er gemacht haben? Er könnte das Quadrat noch um einiges größer gewählt haben. Das brächte einiges an Genauigkeit. Der Größe sind da nur praktische Grenzen gesetzt. Um den Aufwand zu minimieren ist es möglich die Pixel außerhalb des Kreises zu zählen und die Kantenpixel gesondert zu markieren. In einem nächsten Schritt werden die Kantenpixel in beliebig viele gleichgroße Subpixel geteilt und der Algorithmus beginnt von vorn.
Oder hatte er nur so viel Glück sofort mit einem zufällig äußerst gut passenden Feld angefangen zu haben?
355/113 sieht nicht sonderlich zufällig aus.

Vorhin saß ich dann mal wieder in der Badewanne.
Wie kann ich diesen Fehler an der Kreiskante minimieren? Wie bekomme ich diese Subpixel so klein wie möglich und erspare mir dann den Aufwand der mühseligen Zählerei?
Ich setzte mich anders, ließ mich in das Wasser rutschen und sah beim untertauchen, wie durch meine Verdrängung der Wasserspiegel stieg.

Heureka, ich habs!

Sowas sagte doch auch einer dieser Griechen. Wenn Fläche von Quadrat zu Kreis zu einander im Verhältnis stehen, dann steht auch das Volumen von quadratischer zu runder Badewanne im gleichen Verhältnis. Um Pi zu berechnen muss ich mich eigentlich nur nacheinander in zwei Badewannen, eine rechteckig und eine rund, mit gleichem Durchmesser setzen und von beiden Badewannen den Anstieg des Wassers messen.
Das Verhältnis dieser Differenzen zueinander ist auch das Verhältnis der Grundflächen.
Steigt in der runden Badewanne das Wasser um den Wert 1, steigt es in der Viereckigen nur um Pi/4.

Der Grieche, der Pi auf einen Bereich zwischen 22/7 und 223/71 dingfest machte, war Archimedes. Dieser war auch ein Badewannenbegeisterter, fand er doch dort durch Beobachtung der Verdrängung die Lösung zum Problem seines Königs, ob dessen Krone aus Gold war oder doch nur vergoldet. Die verschiedene Dichte zwischen Gold und nicht-Gold war die Lösung.

Für mich führt das zu mehreren Erkenntnissen:

  • Baden macht nicht nur mir Spaß.
  • Alte Chinesen haben wohl sehr eifrig gezählt.
  • Auch ohne Taschenrechner lassen sich Erkenntnisse gewinnen.
  • Unterschätze nicht deine Vorfahren, nur weil du einen Internetzugang hast und sie nicht.
  • Recherchieren hilft. Eine Quelle sagt hier, Archimedes habe Pi durch die Bechnung der Flächen eines 96-Ecks bestimmt. Das ist wohl genauer als die Badewannemethode, aber schon wieder so viel Rechnerei.

Badewannengedanken über die Raumkrümmung

Da saß ich nun in der Badewanne. Gedanken kamen. Gedanken gingen. Mein Blick fiel auf meinen Oberschenkel. In bequemer Position paßt das Knie nicht unter Wasser, dafür ist die Wanne zu klein. Doch meine Hüfte liegt im warmen Nass und so ergibt sich irgendwo unterwegs eine Kante, an der mein Bein ein bedenklichen Knick machte.

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