Sind es Mandelblüten oder Kirschblüten? Wo liegt der feine Unterschied? Wieso sagte Katsumoto zum letzten Samurai, das die vollkommene Blüte so selten wäre, blühen diese Bäume hier doch jedes Jahr.
Die Badewanne ist doch immer wieder ein Ort der Erleuchtung.
Nach einem Gedankengang über die Unfähigkeit Fotos genau das zeigen zu lassen was wir als Menschen sehen fand ich mich plötzlich im Reich der Geometrie wieder.
Vor nunmehr einer Woche wurde abermals der Pi-Day gefeiert. Das liegt wohl an zwei Ursachen. Die erste die fragwürdige Angewohnheit der US-Amerikaner ihre Datumsangaben Monat-Tag-Jahr zu schreiben. Die andere Ursache ist das fehlen eines vierzehnten Kalendermonats. Letzten Freitag sagte der Kalender, es wäre der 3/14/2008 und damit treffen die ersten drei Ziffern immerhin die von π. Leider ist das Jahr 1592 schon vorbei, das hätte eine Riesenparty gegeben.
Und das alles nur wegen dem Verhältnis von Durchmesser zum Umfang eines Kreises...
Mit der genauen Bestimmung dieses Wertes plagt sich die Menschheit schon seit einiger Zeit herum. Es ist bekannt, das die Ägypter vor 5000 Jahren auch schon am suchen waren, wie groß Pi nun eigentlich ist. Von älteren Problemen fehlen wohl einfach die Aufzeichnungen.
Ein Artikel bei Heise enthielt die Angabe, das der chinesische Mathematiker Tsu Chung-Chi um 500 n.Chr. Pi auf ungefähr 355/113 bestimmte. Da stimmen die ersten 6 Nachkommastellen.
Wie kam er aber auf diesen Wert. Hätte er eine rechnerische Annäherung gefunden, wäre er nicht auf so einen schönen Bruch gekommen, ist Pi doch so irreal, das es keinen wirklich treffenden Bruch gibt. Mangels Taschenrechner waren die Mathematiker bis vor gar nicht so langer Zeit auf überschaubarere Wege angewiesen. Wer schon einmal sin(90°) im Taschenrechner ausrechnete wird merken, das das auch einfacher gehen muss.
Überschaubar soll es sein. Was ist überschaubarer als Geometrie. "Störe meine Kreise nicht" sollen Archimedes letzte Worte gewesen sein, aber zu dem später mehr. Ein Verhältnis von 355/113 ist ja so klein, das das gar nicht so schwer sein sollte, das mal nach zu zählen.
Wenn der Durchmesser zum Umfang im Verhältnis steht, trifft das doch auch auf den Flächeninhalt vom Kreis zu dem des Quadrates mit gleicher Kantenlänge zu.
Hätte ich Millimeterpapier gehabt, hätte ich es genommen. So öffnete ich das Bildmanipulationsprogramm meines Geschmacks und öffnete ein Bild von 600x600 Pixeln, unterteilte es in Quadrate mit 10px Kantenlänge und zeichnete einen Viertelkreis ein. Ein ganzer Kreis hätte vier mal symmetrisches zählen bedeutet und die Genauigkeit gesenkt. Ein Achtelkreis wäre auch gegangen, aber das Quadrat gefiel mir so besser.
Der Computer zeichnet den Kreis schwarz, ich zählte der Einfachheit halber die Quadrate außerhalb des Kreises. Das waren bedeutend weniger. Die Quadrate, die genau auf der Kreiskante lagen wurden der Seite zugeordnet, in der sie vorrangig lagen. Von meinen 3600 Quadraten lagen 806 außerhalb und 2794 innerhalb des Viertelkreises. Damit ist Pi ungefähr 4x2794/3600. Seltsamerweise sind 11176/3600 nur ungefähr 3,1044. Damit stimmt nur die erste Nachkommastelle.
Dieser Chinese hat wohl doch einiges genauer gerechnet, als ich das hier Tat. Es wäre auch seltsam gewesen, wenn sich eine herausragende mathematische Leistung in zehn Minuten nachstellen ließe.
Was kann er gemacht haben? Er könnte das Quadrat noch um einiges größer gewählt haben. Das brächte einiges an Genauigkeit. Der Größe sind da nur praktische Grenzen gesetzt. Um den Aufwand zu minimieren ist es möglich die Pixel außerhalb des Kreises zu zählen und die Kantenpixel gesondert zu markieren. In einem nächsten Schritt werden die Kantenpixel in beliebig viele gleichgroße Subpixel geteilt und der Algorithmus beginnt von vorn.
Oder hatte er nur so viel Glück sofort mit einem zufällig äußerst gut passenden Feld angefangen zu haben?
355/113 sieht nicht sonderlich zufällig aus.
Vorhin saß ich dann mal wieder in der Badewanne.
Wie kann ich diesen Fehler an der Kreiskante minimieren? Wie bekomme ich diese Subpixel so klein wie möglich und erspare mir dann den Aufwand der mühseligen Zählerei?
Ich setzte mich anders, ließ mich in das Wasser rutschen und sah beim untertauchen, wie durch meine Verdrängung der Wasserspiegel stieg.
Heureka, ich habs!
Sowas sagte doch auch einer dieser Griechen. Wenn Fläche von Quadrat zu Kreis zu einander im Verhältnis stehen, dann steht auch das Volumen von quadratischer zu runder Badewanne im gleichen Verhältnis. Um Pi zu berechnen muss ich mich eigentlich nur nacheinander in zwei Badewannen, eine rechteckig und eine rund, mit gleichem Durchmesser setzen und von beiden Badewannen den Anstieg des Wassers messen.
Das Verhältnis dieser Differenzen zueinander ist auch das Verhältnis der Grundflächen.
Steigt in der runden Badewanne das Wasser um den Wert 1, steigt es in der Viereckigen nur um Pi/4.
Der Grieche, der Pi auf einen Bereich zwischen 22/7 und 223/71 dingfest machte, war Archimedes. Dieser war auch ein Badewannenbegeisterter, fand er doch dort durch Beobachtung der Verdrängung die Lösung zum Problem seines Königs, ob dessen Krone aus Gold war oder doch nur vergoldet. Die verschiedene Dichte zwischen Gold und nicht-Gold war die Lösung.
Für mich führt das zu mehreren Erkenntnissen:
- Baden macht nicht nur mir Spaß.
- Alte Chinesen haben wohl sehr eifrig gezählt.
- Auch ohne Taschenrechner lassen sich Erkenntnisse gewinnen.
- Unterschätze nicht deine Vorfahren, nur weil du einen Internetzugang hast und sie nicht.
- Recherchieren hilft. Eine Quelle sagt hier, Archimedes habe Pi durch die Bechnung der Flächen eines 96-Ecks bestimmt. Das ist wohl genauer als die Badewannemethode, aber schon wieder so viel Rechnerei.
Da saß ich nun in der Badewanne. Gedanken kamen. Gedanken gingen. Mein Blick fiel auf meinen Oberschenkel. In bequemer Position paßt das Knie nicht unter Wasser, dafür ist die Wanne zu klein. Doch meine Hüfte liegt im warmen Nass und so ergibt sich irgendwo unterwegs eine Kante, an der mein Bein ein bedenklichen Knick machte.
Die Oberfläche trennt ja hier nicht nur einfach so das Wasser von der Luft, sondern auch zwei mehr oder weniger durchsichtige Materialien von einander, die aber unterschiedliche optische Dichten haben. Das Licht wird an der Kante gebrochen, ein Teil reflektiert, ein Teil dringt in den anderen Stoff ein und wird dabei etwas abgelenkt.
Mir fiel etwas im Zusammenhang mit Raumkrümmung und Reisen mit nahezu Lichtgeschwindigkeit ein. Ich sah das Bein, von dem ich wußte, das es nicht gebrochen ist. Zur Sicherheit fühlte ich nochmal die einigermaßen ebene Oberfläche des Beines und auch die Seitenwand der Wanne. Mein Gefühl sagte, mein Bein müsse doch in der Richtung, die es oberhalb des Wassers einschlägt, auch unterhalb weiter gehen. Doch sagte da das Auge, das das doch gar nicht geht, weil dort ja, wie ich doch ganz genau sehe, der Wannenrand ist.
Natürlich stimmt beides. Oder doch nicht?
Das kann man auch bei einem Glas Tee ausprobieren. Man kann sich zwei identische Teelöffel her nehmen und stellt einen in das Glas und hält den zweiten daneben. Weiterhin sind beide physisch gleich groß, doch der Löffel im Tee sieht einfach nicht so aus.
So kann man auch mit einem Raumschiff fliegen. Der Pilot fliegt weit weg von der Erde ruhig seinen Kurs und sendet zur Erde, das er schon nun wieder einen Parsec zurück gelegt hat. Von der Erde aus betrachtet würden die Astronomen nur die Köpfe schüttelt. Der mißt wieder Mist. Alles mögliche flog er, nur kein Parsec.
Unterwegs wurde der Raum gekrümmt. Nur geschieht das nicht so offensichtlich wie eine Wasser- oder Glasoberfläche das Licht krümmt, sondern etwas subtiler. Die Krümmung ist mehr wie das flimmern von Luft über einer heißen Straße oder einem Grill.
Der Astronom kann leider nicht hingehen, und vor dem Ort seinen parsec-Maßstab ansetzen, da dieser ja mit gekrümmt wird, wie der Löffel im Tee, von seiner wahrscheinlichen Unfähigkeit ein Raumschiff zu fliegen mal ganz abgesehen.
Interessant, interessant, dachte ich mir, und merkte das ich gar nicht mehr auf mein Bein schaute, sondern auf die Reflexion der Waschbeckenlampe auf meinem Badewannenwasser. Auf der Wasseroberfläche lagen noch vereinzelt Schaumblasen. Fasziniert schaute ich sie mir an. Meist waren sie dunkel und von einem hellen Ring umgebenen. Das Wort "Gravitationslinsen" blitze in meinem Kopf auf. Die Blasen krümmen die Oberfläche und das recht gleichmäßige einfallende Licht wird verzerrt reflektiert. Wegen der Geometrie der Blase wird von dort ganz woanders hin wieder abgestrahlt. An der Kante der Blase bildet sich ein Ring, der mir dann recht hell erschien.
Bei der Blase ist die Kohäsion der Grund für die Form des Wassers. Wenn ein Astronom einen hellen Ring sieht, kann er eigentlich annehmen, das da in der Mitte etwas eine Kraft auf den Raum ausübt. Das wahrscheinlichste ist ein schweres Objekt.
Die ganze Wasseroberfläche zeigt ja ein Bild vom Bad. Durch gewollte und ungewollte Bewegungen kann ich die Wasseroberfläche manipulieren, kann "Gravitationswellen" durch das Wasser schicken, indem ich unter Wasser ein Volumen bewege. Was mach ich hier eigentlich? Ich projeziere eine dreidimensionale Welt auf eine scheinbar zweidimensionale Wasseroberfläche. Beides bewegt sich noch in Abhängigkeit der Zeit, spielt aber für die augenblickliche Betrachtung kaum eine Rolle.
Ich habe das Bild des Bades auf der Wasseroberfläche, und je nachdem, was im Wasser passiert, ändert sich das Bild. Da habe ich also noch eine Dimension, die sich einfach so auf meine Wahrnehmung auswirkt.
Kann ich also die Masse als weitere Dimension auffassen? Damit wäre die Dichte auch nur so etwas wie eine Volumen mit der Abhängigkeit von Länge, Breite, Höhe, Masse und Zeit.
Gibt es da noch mehr Dimensionen? Was mach ich mit der Energie. Sie soll ja in Masse umwandelbar sein. Aber kann ich sie damit gleichsetzen, oder sind es zwei Dimensionen, die eine Fläche aufspannen. Bei einem Rechteck aus einer Einheit Masse zu 5 Einheiten Energie kommt der gleiche Flächeninhalt herraus wie bei 5 Einheiten Masse zu einer Einheit Energie.
Schnell wasche ich mir die Haare um diese Gedanken fest zu halten.
Schwerter klagen aufeinander. Das eine summt wild. Bewegung und Kraft im Wald.
Mal Zentauer, mal Gottesanbeterin, mal einfach nur eine Wolke. Was seh ich hier nur wieder für Sachen.
Starke Winde aus Hyperborea brachten Eis und Schnee. Und das wo doch der alte Winter in seiner Schwäche sich eigentlich in rauhe Berge zurück ziehen sollte.
Was sehen Sie in diesem Fleck?
